Question

11．已知x∈（0，1），則f（x）=$\frac{{x}^{2}-{x}^{4}}{（1+{x}^{2}）^{3}}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{18}$；不等式$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$＞0的解集為（0，1）．

Answer 1

分析 可將f（x）變成：$f（x）=\frac{\frac{1}{x}-x}{[（\frac{1}{x}-x）^{2}+4]^{\frac{3}{2}}}$，可令$\frac{1}{x}-x=t$，并可求得t∈（0，+∞），并設(shè)y=f（x），從而得到y(tǒng)=$\frac{t}{（{t}^{2}+4）^{\frac{3}{2}}}$，通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可得出t取何值時，函數(shù)y取到最大值，求出該最大值即可．
原不等式可變成$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}-\frac{2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}+1＞0$，可令$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}=t$，并可根據(jù)x的范圍求出t的范圍，并且得到不等式-2t²+t+1＞0，解出該不等式，再把所得t的范圍和前面t的范圍求交集，這樣便可得出原不等式的解集．

解答 解：$f（x）=\frac{{x}^{2}-{x}^{4}}{（1+{x}^{2}）^{3}}=\frac{\frac{1}{x}-x}{（\frac{1}{x}+x）^{3}}$=$\frac{\frac{1}{x}-x}{[（\frac{1}{x}+x）^{2}]^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{\frac{1}{x}-x}{[（\frac{1}{x}-x）^{2}+4]^{\frac{3}{2}}}$；
設(shè)$\frac{1}{x}-x=t$，$t′=-\frac{1}{{x}^{2}}-1＜0$，∴函數(shù)t=$\frac{1}{x}-x$在（0，1）上為減函數(shù)；
∴t＞0；
設(shè)y=f（x），則y=$\frac{t}{（{t}^{2}+4）^{\frac{3}{2}}}$$y′=\frac{2（{t}^{2}+4）^{\frac{1}{2}}（2-{t}^{2}）}{（{t}^{2}+4）^{3}}$；
∴$t∈（0，\sqrt{2}）$時，y′＞0，t$∈（\sqrt{2}，+∞）$時，y′＜0；
∴$t=\sqrt{2}$時，y取最大值$\frac{\sqrt{2}}{{6}^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{18}$；
∴f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{18}$；
由原不等式得：$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}+\frac{\frac{1}{{x}^{2}}+1-2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}＞0$；
∴$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}-\frac{2}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}+1＞0$；
令$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+1}}=t$，$0＜t＜\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴得到-2t²+t+1＞0；
解得$-\frac{1}{2}＜t＜1$，又$0＜t＜\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$0＜t＜\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴x∈（0，1）；
∴原不等式的解集為（0，1）．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{18}，（0，1）$．

點評 考查將函數(shù)解析式變形，然后換元，從而求原函數(shù)最值的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法及過程，將不等式變形，然后換元，然后解換元后不等式，從而解出原不等式的方法．