Question

16．已知f（x）是二次函數(shù)．若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²+（2a-$\frac{1}{2}$）x+2，x∈[-5，5]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，根據(jù)系數(shù)相等得到方程組，求出a，b的值即可；（2）先求出g（x）的表達(dá)式，通過討論對(duì)稱軸的位置，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，f（0）=0，
∴設(shè)函數(shù)的表達(dá)式是f（x）=ax²+bx，
則由f（x+1）=f（x）+x+1，
得：a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得：a=b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：
g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²+（2a-$\frac{1}{2}$）x+2，
=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
對(duì)稱軸x=-a，
當(dāng)-a≤-5即a≥5時(shí)：g（x）在[-5，5]遞增，
∴g（x）_最小值=g（-5）=27-10a；
當(dāng)-a≥5即a≤-5時(shí)：g（x）在[-5，5]遞減，
∴g（x）_最小值=g（5）=27+10a；
當(dāng)-5＜a＜5時(shí)：g（x）_最小值=g（-a）=2-a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．