Question

8．已函數(shù)f（x）=sin（$\frac{7π}{6}-2x$）-2sin²x+1（x∈R），
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單凋遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（A，$\frac{1}{2}$），b，a，c成等差數(shù)列，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)周期公式求函數(shù)f（x）的周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過(guò)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（A，$\frac{1}{2}$），b，a，c成等差數(shù)列，求出A以及列出abc的關(guān)系，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求出bc的值，通過(guò)余弦定理求a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（$\frac{7π}{6}-2x$）-2sin²x+1
=-sin（$\frac{π}{6}$-2x）-（1-cos2x）+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單凋遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z…（6分）
（2）由f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得：2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或$\frac{5π}{6}$+2kπ（k∈Z），
∴A=$\frac{π}{3}$．…（8分）
又∵b，a，c成等差數(shù)列，
∴2a=b+c，…（9分）
而$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}bc$=9，
∴bc=18，…（10分）
∴cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{（b+c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1=$\frac{4{a}^{2}-{a}^{2}}{36}$-1=$\frac{{a}^{2}}{12}$-1，
∴a=3$\sqrt{2}$．．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法，兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，基本知識(shí)的考查．