Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}kx+2，\;x≥0\\{（{\frac{1}{2}}）^x}，\;x＜0\end{array}$，若函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有且只有3個(gè)零點(diǎn)可化為方程函數(shù)f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=0有且只有3個(gè)根，從而解得．

解答 解：①若k≥0，則當(dāng)f（x）≥0時(shí)，
f[f（x）]=kf（x）+2≥2，
故$（\frac{1}{2}）^{f（x）}$=$\frac{3}{2}$，
則f（x）=-log₂$\frac{3}{2}$＜0；
而當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞0，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=kx+2≥2，
故不存在x，使f（x）=-log₂$\frac{3}{2}$；
即函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$沒(méi)有零點(diǎn)；
②若k＜0，則方程kx+2=-log₂$\frac{3}{2}$有一個(gè)根；
若f（x）≥0，
則kf（x）+2=$\frac{3}{2}$，
故f（x）=-$\frac{1}{2k}$；
故kx+2=-$\frac{1}{2k}$或$（\frac{1}{2}）^{x}$=-$\frac{1}{2k}$；
故x=-$\frac{1}{2{k}^{2}}$-$\frac{2}{k}$或-$\frac{1}{2k}$＞1；
故x=-$\frac{1}{2{k}^{2}}$-$\frac{2}{k}$≥0或-$\frac{1}{2k}$＞1；
解得，-$\frac{1}{2}$＜k≤-$\frac{1}{4}$；
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．