Question

6．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人作為樣本，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）從樣本100人中抽取日平均生產(chǎn)件數(shù)[60，70）的工人，求“25周歲以上組”和“25周歲以下組”工人的各抽取多少人？
（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？
附：x²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$

P（x2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分層抽樣原理，結(jié)合頻率分布直方圖，求出每組應(yīng)抽取的人數(shù)；
（2）由頻率分布直方圖，計算各組對應(yīng)的生產(chǎn)能手?jǐn)?shù)，填寫2×2列聯(lián)表，計算K²的值，從而得出統(tǒng)計結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)分層抽樣原理，得；
樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名，
所以，“25周歲以上組”應(yīng)抽取60×0.035×10=21人，
“25周歲以下組”應(yīng)抽取40×0.025×10=10人；
（2）由頻率分布直方圖知，在抽取的100名工人中，
“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60×0.25=15（人），
“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40×0.375=15（人），
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	生產(chǎn)能手	非生產(chǎn)能手	合計
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
合計	30	70	100

所以得：K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（15×25-15×45）}^{2}}{60×40×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.79；
因為1.79＜2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，考查了2×2列聯(lián)表的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．