Question

15．下列不等式中恒成立的是（　�。�

• A． $2-x-\frac{4}{x}$≤-2
• B． $sinx+\frac{1}{sinx}$≥2
• C． $\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$≥2
• D． $\frac{{{x^2}+2}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$≥$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的規(guī)律，逐個選項驗證可得．

解答 解：選項A，若x為負值，則2-x-$\frac{4}{x}$≥2+2$\sqrt{（-x）（-\frac{4}{x}）}$=6，顯然2-x-$\frac{4}{x}$≤-2錯誤；
選項B，只有當sinx=1時才正確，故不是恒成立，錯誤；
選項C，$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，但$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$時x無解，故錯誤；
選項D，$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$恒成立，正確．
故選：D

點評 本題考查基本不等式，涉及基本不等式成立的條件，屬基礎題．