Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（1）求函數(shù)H（x）=$\frac{f（x）+g（x）-14x}{-8x}$的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由已知中函數(shù)f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x的解析式，我們易求出他們導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)大于0的區(qū)間，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=2x²-8lnx-14x與y=m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求出h'（x）后，易求出函數(shù)的最值，分析函數(shù)的性質(zhì)后，即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）∵$H（x）=\frac{lnx}{x}$（x＞0）∴H′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
令H′（x）＞0，得0＜x＜e
故函數(shù)$H（x）=\frac{lnx}{x}$的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）…（4分）
（2）$f'（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{2（x+2）（x-2）}{x}$（x＞0）
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上遞增，必須a≥2g（x）=-x²+14x=-（x-7）²+49，如使g（x）在（a，a+1）上遞增，必須a+1≤7，即a≤6，
由上得出，當(dāng)2≤a≤6時(shí)f（x），g（x）在（a，a+1）上均為增函數(shù)  …（9分）
（3）方程f（x）=g（x）+m有兩個(gè)解$?\left\{\begin{array}{l}y=m\\ y=2{x^2}-8lnx-14x\end{array}\right.$有兩個(gè)解
設(shè)h（x）=2x²-8lnx-14x，$h'（x）=4x-\frac{8}{x}-14=\frac{2}{x}（2x+1）（x-4）$（x＞0）
h′（x），h（x）隨x變化如下表

x	（0，4）	4	（4，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值-24-16ln2	↗

由于在（0，+∞）上，h（x）只有一個(gè)極小值，∴h（x）的最小值為-24-16ln2，
當(dāng)m≥-24-16ln2時(shí)，方程f（x）=g（x）+m有兩個(gè)解．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．