Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC．
（I）求證：AC⊥CD；
（Ⅱ）點E在棱PC上，滿足∠DAE=60°，求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）以點A為原點，以$\overrightarrow{AB}$為x軸正方向、以|$\overrightarrow{AB}$|為單位長度，建立空間直角坐標系．利用∠DAE=60°即cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{1}{2}$可得$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），通過cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{ED}|}$即得二面角B-AE-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因為∠PCD=90°，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC；
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是平行四邊形，CD⊥AC，∴AB⊥AC．
又PA⊥底面ABCD，∴AB，AC，AP兩兩垂直．
如圖所示，以點A為原點，以$\overrightarrow{AB}$為x軸正方向、以|$\overrightarrow{AB}$|為單位長度，建立空間直角坐標系．
則B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（-1，1，0）．
設(shè)$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PC}$=λ（0，1，-1），則$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PE}$=（0，λ，1-λ），
又∠DAE=60°，則cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{λ}{\sqrt{2}\sqrt{2{λ}^{2}-2λ+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
則$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
所以cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{ED}|}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
因為$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{ED}$=0，所以$\overrightarrow{AE}$⊥$\overrightarrow{ED}$．
又$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AE}$，故二面角B-AE-D的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查空間中線線垂直的判定，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．