Question

15．已知數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為A_n，B_n，且A₁₀₀₀=2，B₁₀₀₀=1007．記C_n=a_n•B_n+b_n•A_n-a_n•b_n（n∈N*），則數列{C_n}的前1000項的和為2014．

Answer 1

分析 首項考查n=1的情況，然后當n≥2時，將遞推關系整理為關于前n項和的算式，然后裂項求和即可求得最終結果．

解答 解：遞推關系中，當n=1時：c₁=a₁b₁+b₁a₁-a₁b₁=a₁b₁=A₁B₁，當n≥2時，有：
c_n=（A_n-A_n-1）B_n+（B_n-B_n-1）A_n-（A_n-A_n-1）（B_n-B_n-1）=A_nB_n-A_n-1B_n-1，
據此可得：
c₁=A₁B₁，c₂=A₂B₂-A₁B₁，c₃=A₃B₃-A₂B₂，…，c_n=A_nB_n-A_n-1B_n-1，
以上各式相加可得：C_n=A_nB_n，令n=1000可得C₁₀₀₀=A₁₀₀₀B₁₀₀₀=2014．
故答案為：2014．

點評 本題考查數列的遞推關系，裂項求和的應用，新定義的理解及其應用等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．