Question

4．已知a，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}=3$，則（a+1）（b+2）的最小值為$\frac{50}{9}$．

Answer 1

分析 由題意可得ab=$\frac{1}{3}$（2a+b），展開代入可得（a+1）（b+2）=$\frac{4}{9}$（2a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）+2=$\frac{4}{9}$（4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）+2，由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}=3$，
∴$\frac{2a+b}{ab}$=3，∴ab=$\frac{1}{3}$（2a+b），
∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2
=$\frac{4}{3}$（2a+b）+2=$\frac{4}{9}$（2a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）+2
=$\frac{4}{9}$（4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）+2≥$\frac{4}{9}$（4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）+2=$\frac{50}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$即a=$\frac{2}{3}$且b=$\frac{4}{3}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{50}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，整體代換是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．