Question

20．己知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，
（1）求圓C的標準方程；
（2）若點M（x，y）是圓C上的點，
（I）求$\frac{y+2}{x+2}$的取值范圍；
（II）求（x+2）²+（y+2）²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意設出圓的圓心坐標，由圓心到切線的距離等于圓的半徑列式求出圓心坐標，則圓的標準方程可求；
（2）由圓的方程畫出圖形．
（Ⅰ）由$\frac{y+2}{x+2}$的幾何意義，借助于點到直線的距離公式求出圓的切線的斜率得答案；
（Ⅱ）由（x+2）²+（y+2）²的幾何意義，即圓上的動點M與定點P距離的平方求得答案．

解答 解：（1）設圓心C（a，0）（a＞0），
則由題意可得：$\frac{|3a+4×0+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=2$，即$\frac{|3a+4|}{5}=2$，解得a=2．
∴圓C的標準方程為（x-2）²+y²=4；
（2）如圖：
（Ⅰ）$\frac{y+2}{x+2}$的幾何意義為圓上的動點M與定點P（-2，-2）連線的斜率，
設過P與圓相切的直線方程為y+2=k（x+2），即kx-y+2k-2=0．
由$\frac{|2k+2k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，得$|2k-1|=\sqrt{{k}^{2}+1}$，兩邊平方得，3k²-4k=0，
解得：k=0或k=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{y+2}{x+2}$的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]；
（Ⅱ）（x+2）²+（y+2）²的幾何意義為圓上的動點M與定點P距離的平方，
∵|CP|=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（-2-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴$|MP{|}_{min}=2\sqrt{5}-2$，
則（x+2）²+（y+2）²的最小值為$（2\sqrt{5}-2）^{2}=24-8\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查了直線與圓的位置關系的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法和數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．