Question

16．如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2a，F(xiàn)為CD的中點．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）判斷平面BCE與平面CDE的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）可取CE中點為M，并連接BM，F(xiàn)M，從而可得到MF∥DE，MF=$\frac{1}{2}DE$，進一步便可得到MF∥AB，且MF=AB，從而四邊形ABMF為平行四邊形，從而有AF∥BM，這樣根據(jù)線面平行的判定定理便可得到AF∥平面BCE；
（2）容易看出BM⊥平面CDE，從而可判斷平面BCE⊥平面CDE，可根據(jù)線面垂直的性質及判定定理證明AF⊥平面CDE，從而有BM⊥平面CDE，這樣由面面垂直的判定定理即可得到平面BCE⊥平面CDE．

解答 解：（1）證明：如圖，取CE中點M，連接BM，F(xiàn)M；
∵F為CD的中點；
∴MF∥DE，且$MF=\frac{1}{2}DE$；
又DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，DE=2AB；
∴MF⊥平面ACD，MF∥AB，且MF=AB；
∴四邊形ABMF為平行四邊形；
∴AF∥BM，BM?平面BCE，AF?平面BCE；
∴AF∥平面BCE；
（2）可看出AF⊥平面CDE，∴平面BCE⊥平面CDE，證明如下：
△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD中點；
∴AF⊥CD；
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD；
∴DE⊥AF，即AF⊥DE，DE∩CD=D；
∴AF⊥平面CDE；
由（1）知，BM∥AF；
∴BM⊥平面CDE，BM?平面BCE；
∴平面BCE⊥平面CDE．

點評 考查三角形中位線的性質，平行線的性質：平行線中一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面；同時垂直于一個平面的兩直線平行，平行四邊形的定義，以及線面平行、線面垂直，以及面面垂直的判定定理．