Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，4），函數(shù)g（x）=$\frac{{f（{x+1}）}}{{\sqrt{x-1}}}$的定義域為集合A，集合B={x|a＜x＜2a-1}，若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的定義域便可得出函數(shù)g（x）的自變量x滿足$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+1＜4}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，從而得出集合A={x|1＜x＜3}，而由A∩B=B便知B⊆A，這樣可看出：討論B=∅和B≠∅兩種情況，求出每種情況的a的范圍，再求并集便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：要使g（x）有意義，則：$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+1＜4}\\{x＞1}\end{array}\right.$；
∴1＜x＜3；
∴A={x|1＜x＜3}；
∵A∩B=B；
∴B⊆A；
①若B=∅，滿足B⊆A，則a≥2a-1；
∴a≤1；
②若B≠∅，則：$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤3}\\{a＜2a-1}\end{array}\right.$；
∴1＜a≤2；
∴a≤2；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

點評 考查描述法表示集合，函數(shù)定義域的概念及其求法，空集的概念，交集、子集的概念，不要漏了B=∅的情況．