Question

【題目】已知拋物線： 的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且．

（1）求與的值；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求直線、的斜率之積．

Answer 1

【答案】（1）p=4, ；（2）直線、的斜率之積為.

【解析】試題分析：（1）利用和點(diǎn)在拋物線上即可求解；

（2）討論斜率不存在和斜率存在時(shí)兩種情況，斜率不存在直接檢驗(yàn)即可；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)為，則其方程可表示為： ，與拋物線聯(lián)立， ， ，利用韋達(dá)定理求解即可.

試題解析：

（1）拋物線： 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為。

由拋物線定義知：點(diǎn)到的距離等于到準(zhǔn)線的距離，故

， ，拋物線的方程為

點(diǎn)在拋物線上，

，

（2）由（1）知：拋物線的方程為，焦點(diǎn)為

若直線的斜率不存在，則其方程為： ，代入，易得：

， ，從而；

若直線的斜率存在，設(shè)為，則其方程可表示為： ，

由，消去，得：

即 ，

設(shè)， ，則

從而

綜上所述：直線、的斜率之積為。