Question

4．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則對稱點(diǎn)（P，Q）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)對（P，Q）與（Q，P）看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”）．則下列函數(shù)中，恰有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”的函數(shù)是②③（填空寫所有正確選項(xiàng)的序號）
①y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x＞0}\\{-x-1，x＜0}\end{array}\right.$；②y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-1，x＞0}\\{-ln|x|，x＜0}\end{array}\right.$；③y=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$；④y=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2}，x＞0}\\{{e}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)“伙伴點(diǎn)組”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)f（x）則x＜0時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，利用對稱圖象在x＞0兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為“伙伴點(diǎn)組”的個(gè)數(shù)．根據(jù)條件進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①函數(shù)y=-x-1，（x＜0）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為-y=x-1，即y=-x+1，
在x＞0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x＞0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，所以函數(shù)f（x）的“伙伴點(diǎn)組”有1個(gè)，不滿足條件．
②函數(shù)y=-ln|x|（x＜0）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為-y=-ln|-x|，即y=ln|x|，
在x＞0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x＞0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)f（x）的“伙伴點(diǎn)組”有2個(gè)，滿足條件．

③函數(shù)y=-x²-4x，（x＜0）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為-y=-x²+4x，即y=x²-4x，
在x＞0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x＞0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)f（x）的“伙伴點(diǎn)組”有2個(gè)，滿足條件．
④函數(shù)y=e^-x，（x＜0）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為-y=e^x，即y=-e^x，
在x＞0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x＞0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè)，所以函數(shù)f（x）的“伙伴點(diǎn)組”有0個(gè)，不滿足條件．，
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題主要考查新定義題目，讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．