Question

10．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A（0，4）為長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$|=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，則其焦距為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$|=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，可得AC⊥BC，OC=AC，求出C的坐標，代入橢圓方程，求出b，可得c，即可求出橢圓的焦距．

解答 解：因為$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$|=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，
所以AC⊥BC，OC=AC，
因為OA=4，
所以C（2，2），代入橢圓方程可得$\frac{4}{16}+\frac{4}{^{2}}=1$，
所以b²=$\frac{16}{3}$，
所以c=$\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
所以2c=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查學生的計算能力，確定C的坐標是關鍵．