Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，正項數(shù)列{c_n}中，c₂=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828），且對任意正整數(shù)n，2^n-1是S_n與a_n的等差中項，$\sqrt{{c}_{n+1}}$是c_n與c_n+1的等比中項．
（1）求證：對任意正整數(shù)n，都有a_n＜a_n+1＜2ⁿ；
（2）求證：對任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nc₁+lnc₂+…+lnc_n＞$\frac{3}{2}$（a_n-1）．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差中項的性質(zhì)可得S_n=2ⁿ-a_n，利用數(shù)列的S_n與a_n的關(guān)系式化簡、變形后，構(gòu)造新的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項公式和迭代法求出a_n+1、a_n，利用作差法進行證明結(jié)論；
（2）由題意和等比中項的性質(zhì)可得$（\sqrt{{c}_{n+1}}）^{2}={c}_{n}（{c}_{n}+1）$，化簡后由條件求出c₁，由（1）化簡$\frac{3}{2}$（a_n-1）并求出最大值，再將結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，對n進行分類討論：n=1、n≥2，再根據(jù)遞推公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行放縮，利用等比數(shù)列的前n項公式證明出結(jié)論．

解答 證明：（1）因為2^n-1是S_n與a_n的等差中項，所以2ⁿ=S_n +a_n，即S_n=2ⁿ-a_n，
當n=1時，a₁=s₁=2-a₁，則a₁=1，
由S_n=2ⁿ-a_n得，s_n+1=2ⁿ⁺¹-a_n+1，
相減可得 a_n+1=s_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-a_n+1+a_n，化簡得 2a_n+1=2ⁿ+a_n．
變形可得 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n =4ⁿ，
所以數(shù)列{ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n }構(gòu)成等比數(shù)列，
則它的前n項和為：（2²a₂-2a₁）+（2³a₃-2²a₂）+…+（2ⁿa_n-2^n-1a_n-1）+（ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n ）
=4+4²+…+4^n-1+4ⁿ=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{3}$，
所以2ⁿ⁺¹ a_n+1-2=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{3}$，解得a_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{2}{3}•\frac{{4}^{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{2n+1}+1}{{3•2}^{n}}$，
則a_n=$\frac{{2}^{2n-1}+1}{{3•2}^{n-1}}$，當n=1時也滿足上式，
所以a_n+1-a_n=$\frac{{2}^{2n+1}+1}{{3•2}^{n}}$-$\frac{{2}^{2n-1}+1}{{3•2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{2n}-1}{{3•2}^{n}}$＞0，
2ⁿ-a_n+1=${2}^{n}-\frac{{2}^{2n+1}+1}{{3•2}^{n}}$=$\frac{{2}^{2n}-1}{{3•2}^{n}}＞0$，
所以對任意正整數(shù)n，都有a_n＜a_n+1＜2ⁿ；
（2）因為$\sqrt{{c}_{n+1}}$是c_n與c_n+1的等比中項，所以$（\sqrt{{c}_{n+1}}）^{2}={c}_{n}（{c}_{n}+1）$，
化簡得c_n+1=c_n（c_n+1），
由c₂=e得e=c₁（c₁+1），又c_n＞0，解得c₁=$\frac{-1+\sqrt{1+4e}}{2}$，
由（1）得，$\frac{3}{2}$（a_n-1）=$\frac{3}{2}$•（$\frac{{2}^{2n-1}+1}{{3•2}^{n-1}}$-1）=$\frac{{2}^{2n-1}+1}{{2}^{n}}-\frac{3}{2}$=${2}^{n-1}+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{3}{2}$≤2^n-1-1，
對任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nc₁+lnc₂+…+lnc_n＞$\frac{3}{2}$（a_n-1）等價于：
對任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nc₁+lnc₂+…+lnc_n＞2^n-1-1，
當n=1時，c₁=$\frac{-1+\sqrt{1+4e}}{2}$＞$\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$=1，則lnc₁＞0，
又2^n-1-1=2^1-1-1=0，所以n=1時成立；
當n≥2時，c_n+1=c_n（c_n+1）＞${（c}_{n}）^{2}$，則lnc_n+1＞2lnc_n，
所以lnc_n＞2lnc_n-1＞…＞2^n-2lnc₂=2^n-2，
則lnc₁+lnc₂+…+lnc_n＞0+1+2+…+2^n-2=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1-1≥$\frac{3}{2}$（a_n-1），
綜上可得，對任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nc₁+lnc₂+…+lnc_n＞$\frac{3}{2}$（a_n-1）．

點評 本題考查等差、比中項的性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項公式、通項公式，數(shù)列的S_n與a_n的關(guān)系式，以及數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合問題，考查化簡、變形能力，轉(zhuǎn)化思想，及分析、解決問題的能力，綜合性強、難度大．