Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）求f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
故k=0時(shí)，x=-$\frac{π}{12}$，此時(shí)（-$\frac{π}{12}$，0）為f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性的求解以及對(duì)稱中心的應(yīng)用，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．