Question

（08年中衛(wèi)一中三模理）（12分）  如圖，三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點.

   （Ⅰ）求證：AB₁ // 面BDC₁；

 （Ⅱ）求二面角C₁―BD―C的余弦值；

   （Ⅲ）在側(cè)棱AA­₁上是否存在點P，使得CP⊥面BDC₁？并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

解析：（1）連接B₁C，交BC₁于點O，則O為B₁C的中點，

        ∵D為AC中點    ∴OD∥B₁A

        又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

         ∴B₁A∥平面BDC₁

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

       ∴CC₁⊥面ABC

      則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

      如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系 則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

      ∴

      設平面的法向量為

      則

      又平面BDC的法向量為

      ∴二面角C₁―BD―C的余弦值：cos

（Ⅲ）設P(h,2,0)   則

若CP⊥面BDC₁   則∥   即（2,0, h）=λ(2,-6,3)

此時λ不存在

∴在側(cè)棱AA­₁上不存在點P，使得CP⊥面BDC₁