Question

11．對任意的x∈（0，m]，不等式（a-lnx）（a-e^x）≤0恒成立，則a•m的最大值為e．

Answer 1

分析 分析可知當(dāng)x＞0時(shí)，lnx＜e^x，對任意的x∈（0，m]，不等式（a-lnx）（a-e^x）≤0恒成立，
只需要a-lnx≥0，a-e^x≤0恒成立，即a≥lnx，a≤e^x，只需求出右式的最值即可．

解答 解：容易證明，當(dāng)x＞0時(shí)，lnx＜e^x，
∴a-lnx＞a-e^x，
∵對任意的x∈（0，m]，不等式（a-lnx）（a-e^x）≤0恒成立，
∴a-lnx≥0，a-e^x≤0恒成立，
∴a≥lnx，a≤e^x恒成立，
∵lnx，e^x都是增函數(shù)，
∴l(xiāng)nx≤lnm，e^x＞1，
∴l(xiāng)nm≤a≤1，可知lnm≤1
∴0＜m≤e，
∴0＜am≤e．
故a•m的最大值為e．

點(diǎn)評 考查了因式積的形式的恒成立問題，可以分析兩式的大小，減少討論，把恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題進(jìn)行求解．