Question

16．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x²-（a-1）x（a∈R）．
（1）若f（1）=2，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若不等式f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求f（1）=1-a+1=2，得出a值，只需求出但x＜0時的解析式即可；
（2）先判斷奇函數(shù)的單調(diào)性，整理不等式可得（2^x）²+k2^x+1＞0恒成立，令t=2^x，t＞0，得出k＞-t-$\frac{1}{t}$，只需求右式的最大值即可．

解答 解：（1）f（1）=1-a+1=2，a=0，
∴當x＞0時，f（x）=x²+x，
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-x²+x，
當x=0時，f（0）=0；
（2）當x＞0時，f（x）=x²+x，
∴f（x）在x＞0時為遞增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）在R上也為增函數(shù)，
∵f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0恒成立，
∴（2^x）²+k2^x+1＞0恒成立，
令t=2^x，t＞0，
∴t²+kt+1＞0恒成立，t＞0，
∴k＞-t-$\frac{1}{t}$，
∵-t-$\frac{1}{t}$≤-2，
∴k＞-2．

點評 考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，利用性質(zhì)解決恒成立問題．注意恒成立問題的轉(zhuǎn)換．