Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求f （$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）設(shè)α∈（0，$\frac{3}{4}$π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用二倍角公式化簡(jiǎn)解析式，然后代入自變量求值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式得到f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{5}$，然后兩邊平方求出sin2α，根據(jù)平方關(guān)系以及角度范圍求cos2α．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=1
（Ⅱ）∵f（$\frac{α}{2}$）=sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
∴1+sin2α=$\frac{1}{25}$，sin2α=$-\frac{24}{25}$，
∴cos2α=$±\frac{7}{25}$，
∵α∈（0，$\frac{3}{4}$π）
∴2α∈（π，$\frac{3}{2}$π）
∴cos2α＜0．
故cos2α=$-\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值．注意三角函數(shù)名稱和范圍．