Question

設(shè)過橢圓C：+y²=1(a＞1)中心O的直線與橢圓C的左準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，與橢圓C交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P與左焦點(diǎn)F₁(-c，0)的直線l：x=my-c交橢圓C于另一點(diǎn)Q.

(Ⅰ)若=且M的縱坐標(biāo)為時(shí)，求橢圓C的方程；

(Ⅱ)當(dāng)且橢圓C的離心率在()變化時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)O(0,0)、P(x₀,y₀),M(-)(x₀＜0),

∵,則P是OM的中點(diǎn), 

∵M(jìn)的縱坐標(biāo)為,P(x₀,y₀)在橢圓上,

解之：x₀=-1,a₂=2,則橢圓C的方程為+y2=1, 

(Ⅱ)由消x整理得:(a²+m²)y²-2cmy-1=0,  ①

設(shè)點(diǎn)P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),則y₁+y₂=,y₁·y₂=, 

∴=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),且·=x₁·x₂+y₁·y₂,

又x₁·x₂  =(my₁-c)(my₂-c)=m²y₁·y₂-cm(y₁+y₂)+c²=,

∴·=

化簡(jiǎn)得：3a⁴-2a²-2=a²m²,∴m²=3a²--2

∵e∈(,),則＜e²＜,＜,＜a²＜2, 

設(shè)t=a²,則m²=3t--2在(,2)上是增函數(shù),

∴＜m²＜3,...-＜m＜-或＜m＜.