Question

已知直線l：y=2x-

3

與橢圓C：

x2

a2

+y²=1 （a＞1）交于P、Q兩點，
（1）設PQ中點M（x₀，y₀），求證：x₀＜

3

2

；
（2）以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A．求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）把y=2x-

3

代入

x2

a2

+y²=1 （a＞1），得(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，x0=

xp+xq

2

=

2 3 a2

4a2+1

，mh 4a²+1＞4a²，能夠證明x0＜

3

2

．
（2）由題設知

PA

•

PB

=0，（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，所以(xp-a)(xq-a)+(2xp-

3

)(2xq-

3

)=0，即4a4-4

3

a3-a2+3=0，由a＞1，得4a3-a-

3

＞0，故a=

3

．由此能求出橢圓C的方程．

解答：解：（1）證明：把y=2x-

3

代入

x2

a2

+y²=1 （a＞1），
得：

x2

a2

+（2x-

3

）²=1（a＞1），
整理，得(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，
∴x0=

xp+xq

2

=

2 3 a2

4a2+1

，
∵4a²+1＞4a²，
∴x0＜

3

2

．
（2）由題設知

PA

•

PB

=0，
∴（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，
∵yp=2xp-

3

，yq=2xq-

3

，
∴(xp-a)(xq-a)+(2xp-

3

)(2xq-

3

)=0，
由(4a2+1)x2-4

3

a2 x+2a2=0，
知xp+xq=

4 3 a2

4a2+1

，xpxq=

2a2

4a2+1

，
∴4a4-4

3

a3-a2+3=0，
即(a-

3

) (4a3-a-

3

)  =0，
∵a＞1，
∴4a3-a-

3

＞0，故a=

3

．
∴橢圓C的方程

x2

3

+y2=1．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．