Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF分別是棱AA₁，A₁C₁的中點，求：
（1）CE與平面ABCD所成角的余弦值；
（2）EF與平面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)已知條件，指出線面的夾角，進一步利用解直角三角形知識求出結(jié)果．
（2）指出線面的夾角，進一步利用解直角三角形知識求出結(jié)果．

解答 解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)棱長為2，
E、F分別是棱AA₁，A₁D₁的中點，連接AC，
由于：AE⊥平面ABCD，
所以：∠ECA就是直線CE與平面ABCD所成角，
則：$AC=2\sqrt{2}$，AE=1
利用勾股定理解得：$CE=\sqrt{{AC}^{2}+{AE}^{2}}$=3
所以：cos∠ECA=$\frac{AC}{CE}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
（2）E、F分別是棱AA₁，A₁D₁的中點，
所以：△A₁EF為等腰三角形．
EF與平面ABCD所成角，即EF與平面A₁B₁C₁D₁所成的角．
EA⊥平面ABCD，
平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁
所以：∠EFA₁就是EF與平面ABCD所成角．
由于△A₁EF為等腰三角形，
所以：∠EFA₁=45°
即：EF與平面ABCD所成角的大小為45°．

點評 本題考查的知識要點：線面的夾角問題，解直角三角形知識的應(yīng)用．