Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-16x+a．
（1）若f（x）在區(qū)間[2a，a+5]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，9]上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線x=8在區(qū)間[2a，a+5]內(nèi)部，列出不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，9]上存在零點，分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)公式，二次函數(shù)f（x）=x²-16x+a圖象的對稱軸為直線x=8，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[2a，a+5]上不單調(diào)，
說明直線x=8在區(qū)間[2a，a+5]內(nèi)部
因此列式：2a＜8＜a+5
所以a的取值范圍是 3＜a＜4；
（2）x²-16x+a=0，可得-a=x²-16x=（x-8）²-64，
∵2≤x≤9，
∴-64≤-a≤-28，
∴28≤a≤64．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．