Question

1．已知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1上一點，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，若∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積為$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 依題意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，從而可求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：∵橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
∴a=10，b=8，c=6．
又∵P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°，F(xiàn)₁、F₂為左右焦點，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=400-3|F₁P|•|PF₂|
=144，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查余弦定理的應用與三角形的面積公式，屬于中檔題．