Question

1．已知x＞2，求函數(shù)y=$\frac{2{x}^{2}-8x+16}{{x}^{2}-2x+4}$的值域．

Answer 1

分析 可先分離常數(shù)得到y(tǒng)=$2-\frac{4（x-2）}{{x}^{2}-2x+4}$，分子上是x-2，可考慮能否讓分母也出現(xiàn)x-2：x²-2x+4=（x-2）²+2（x-2）+4，從而分子分母同時除以x-2便可得到$y=2-\frac{4}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}$，從而可根據(jù)基本不等式得到$（x-2）+\frac{4}{x-2}$的范圍，進一步得到$\frac{1}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}$的范圍，從而可得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：將原函數(shù)變成：$y=\frac{2（{x}^{2}-2x+4）-4x+8}{{x}^{2}-2x+4}=2+\frac{-4x+8}{{x}^{2}-2x+4}$=$2-\frac{4}{\frac{（x-2）^{2}+2（x-2）+4}{x-2}}=2-\frac{4}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}$；
∵x＞2；
∴x-2＞0；
∴$（x-2）+\frac{4}{x-2}≥4$，x=4時取“=”；
∴$0＜\frac{1}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}≤\frac{1}{6}$；
∴$\frac{4}{3}≤y＜2$；
∴原函數(shù)的值域為$[\frac{4}{3}，2）$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)法的運用，湊出基本不等式$x+\frac{a}{x}$的形式，然后應(yīng)用基本不等式求值域的方法，注意判斷等號能否取到，以及不等式的性質(zhì)．