Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（2x）=a•f（x），其中a為常數(shù)．當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，$f（x）=sin（\frac{π}{2}x）$．
（1）設(shè)a＞0，f（x）在x∈[4，8）時(shí)的解析式及其值域；
（2）設(shè)-1≤a＜0，求f（x）在x∈[1，+∞）時(shí)的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x的范圍，得到$\frac{x}{4}$的范圍，由f（2x）=a•f（x），令x=$\frac{x}{4}$，得到f（x）=a²f（$\frac{x}{4}$），再代入即可得到f（x）的解析式；
（2）由于[1，+∞）=[1，2）∪[2，2²）∪[2²，2³）∪…∪[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）∪…只研究函數(shù)f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）值域即可，先由（1）得到$f（x）={a^n}sin（\frac{π\(zhòng);x}{{{2^{n+1}}}}）$x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N），再分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[4，8）時(shí)，于是$\frac{x}{4}∈[1，2）$，又f（2x）=af（x）
所以$f（x）=af（\frac{x}{2}）={a^2}f（\frac{x}{4}）$，
即f（x）=a²sin（$\frac{π}{8}$x）…3分，
x∈[4，8）$⇒\frac{π}{2}≤\frac{π\(zhòng);x}{8}＜π$⇒0＜f（x）≤a²
即f（x）在x∈[4，8）時(shí)的值域?yàn)椋?，a²]…6分
（2）由于[1，+∞）=[1，2）∪[2，2²）∪[2²，2³）∪…∪[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）∪…
只研究函數(shù)f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）值域即可…7分
對(duì)于x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）得$\frac{x}{2^n}∈[1，2）$
于是$f（x）=af（\frac{x}{2}）={a^2}f（\frac{x}{2^2}）=…={a^n}f（\frac{x}{2^n}）$
所以$f（x）={a^n}sin（\frac{π\(zhòng);x}{{{2^{n+1}}}}）$x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）…9分
$\frac{π}{2}≤\frac{π\(zhòng);x}{{{2^{n+1}}}}＜π$⇒$0＜sin（\frac{π\(zhòng);x}{{{2^{n+1}}}}）≤1$
因?yàn)?1≤a＜0
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）上單調(diào)減，值域?yàn)椋?，aⁿ]；
且（0，1]?（0，a²]?（0，a⁴]?…?（0，a^2k]?…10分
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）上單調(diào)增，值域?yàn)閇aⁿ，0）
且[a，0）?[a³，0）?[a⁵，0）?…?[a^2k-1，0）?…12分
所以f（x）的值域?yàn)閇a，0）∪（0，1]…14分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的值域的求法，由于[1，+∞）=[1，2）∪[2，2²）∪[2²，2³）∪…∪[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）∪…只研究函數(shù)f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）值域是關(guān)鍵，屬于難題．