Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，直線x+y+3$\sqrt{2}$+1=0與圓C相切，圓心C的坐標(biāo)為（1，-2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1圓C沒有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．
（Ⅲ）設(shè)直線y=x+m與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假設(shè)圓的方程，利用以C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3$\sqrt{2}$+1=0相切，即可求得圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+1圓C沒有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離大于半徑，得到關(guān)系式求出k的范圍．
（Ⅲ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與圓的方程，通過韋達(dá)定理以及判別式，通過OM⊥ON，求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=r²，
依題意，∵C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3$\sqrt{2}$+1=0相切．
∴所求圓的半徑，r=$\frac{|1-2+3\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}}$=3，
∴所求的圓方程是（x-1）²+（y+2）²=9．…（4分）
（Ⅱ）圓心C（1，-2）到直線y=kx+1的距離d=$\frac{|k-（-2）+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∵在y=kx+1與圓沒有公共點(diǎn)，
∴d＞r即$\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞3$，解得0＜k＜$\frac{3}{4}$．
k的取值范圍：（0，$\frac{3}{4}$）．
（Ⅲ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\（{x-1）}^{2}+（y+2）^{2}=9\end{array}\right.$，
消去y，得到方程2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，…（6分）
由已知可得，判別式△=4（m+1）²-4×2（m²+4m-4）＞0，化簡(jiǎn)得m²+6m-9＜0，…（7分）
x₁+x₂=-m-1，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$①…（8分）
由于OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=0…（9分）
又y₁=-x₁-m，y₂=-x₂-m所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，②…（10分）
由①，②得m=-4或m=1，滿足△＞0，
故m=1或m=-4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓中弦長(zhǎng)的計(jì)算，合理運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)鍵．注意韋達(dá)定理及整體思想的運(yùn)用，屬中檔題．