Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點P（0，1），Q（0，2），橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T．求證：點T在橢圓C上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C的短半軸長為圓心到切線的距離可知b=$\sqrt{2}$，利用e²=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$可知a=2$\sqrt{2}$，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過設(shè)點M（x₀，y₀）、N（-x₀，y₀）、T（x，y），聯(lián)立直線PM、QN的方程得x₀=$\frac{x}{2y-3}$、y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，通過將點M、N坐標(biāo)代入橢圓C方程、化簡即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵橢圓C的短半軸長為圓心到切線的距離，
∴b=$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）證明：依題意可設(shè)點M（x₀，y₀）、N（-x₀，y₀）、T（x，y），
則直線PM的方程為：y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，
直線QN的方程為：y=-$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+2，
聯(lián)立直線PM、QN的方程，得：x₀=$\frac{x}{2y-3}$，y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，
∵點M、N均在橢圓C上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，
∴$\frac{（\frac{x}{2y-3}）^{2}}{8}+\frac{（{\frac{3y-4}{2y-3}）}^{2}}{2}=1$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{（3y-4）^{2}}{2}$=（2y-3）²，
∴$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{9{y}^{2}}{2}$-12y+8=4y²-12y+9，
即$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴點T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．