Question

12．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，$sin（\frac{π}{3}-C）+cos（C-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若$c=2\sqrt{3}$且sinA=2sinB，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角差的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得$cosC=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜C＜π，即可解得C的值．
（Ⅱ）由正弦函數(shù)化簡(jiǎn)sinA=2sinB，可得a=2b，利用余弦定理解得b，可求a的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?sin（\frac{π}{3}-C）+cos（C-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$cosC=\frac{1}{2}$，（3分）
因?yàn)樵凇鰽BC中，0＜C＜π，所以$C=\frac{π}{3}$． （5分）
（Ⅱ）因?yàn)閟inA=2sinB，所以a=2b，（6分）
因?yàn)閏²=a²+b²-2abcosC，
所以${（2\sqrt{3}）^2}=4{b^2}+{b^2}-2×2{b^2}×\frac{1}{2}=3{b^2}$，（8分）
所以b=2，所以a=4．（11分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}$．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．