Question

18．已知函數(shù) f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù) f（x）的極值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，化簡f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，從而求導(dǎo)f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0）；從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=（2-a）$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$（x＞0），從而分類討論以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0）；
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
所以函數(shù) f（x）在x=$\frac{1}{2}$時(shí)取得極小值f（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2，無最大值；
（2）∵f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax，
∴f′（x）=（2-a）$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$（x＞0），
①當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
③當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）與（-$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)；
④當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
⑤當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）與（$\frac{1}{2}$，+∞）上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)；
綜上所述，
當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）與（-$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)；
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）與（$\frac{1}{2}$，+∞）上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．