Question

20．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，并對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都滿足f（2+x）=f（2-x）
（1）求證：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
（2）若f（x）是偶函數(shù)，且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-1，求x∈[-4，0]時(shí)函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）在函數(shù)y=f（x）的圖象任取一點(diǎn)P（x，y），由已知式子證明點(diǎn)P關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)P′（4-x，y）也在函數(shù)圖象上；
（2）可證函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，由周期性和對(duì)稱性可得分段函數(shù)的解析式．

解答 （1）證明：在函數(shù)y=f（x）的圖象任取一點(diǎn)P（x，y），
則點(diǎn)P關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)P′（4-x，y），
∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x，都滿足f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）=f[2-（x-2）]=f（4-x）
∴y=f（4-x）=f（x），即P′也在函數(shù)圖象上，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
（2）由（1）知，任意x都有f（4-x）=f（x），
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（x-4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
當(dāng)x∈[-4，-2]，∴x+4∈[0，2]，
又x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-1，
∴當(dāng)x∈[-4，-2]時(shí)，f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7，
∴此時(shí)函數(shù)的解析為f（x）=2x+7；
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，也關(guān)于x=-2對(duì)稱，
由對(duì)稱性可知當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)函數(shù)f（x）的圖象為線段，
且經(jīng)過點(diǎn)（-2，3）和（0，-1），
∴當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，函數(shù)的解析為f（x）=-2x-1，
∴x∈[-4，0]時(shí)函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+7，x∈[-4，-2]}\\{-2x-1，x∈（-2，0]}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，涉及分段函數(shù)解析式的求解和直線方程，屬中檔題．