Question

10．已知ABCD是直角梯形，AB=AD，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥BD，把△ABD沿BD折起，使平面A′BD⊥面BCD．
（1）求證：平面A′BD⊥面A′DC；
（2）求A′D與BC所成的角．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出CD⊥平面A′BD，由此能證明平面A′BD⊥面A′DC．
（2）由AD∥BC，得∠AA′D是A′D與BC所成的角，由已知條件推導出△AA′D是等邊三角形，由此能求出A′D與BC所成的角為60°．

解答 （1）證明：∵ABCD是直角梯形，AB=AD，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥BD，
把△ABD沿BD折起，使平面A′BD⊥面BCD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵CD?平面A′DC，∴平面A′BD⊥面A′DC．
（2）解：∵AD∥BC，∴∠AA′D是A′D與BC所成的角，
設(shè)AB=AD=1，∵AB⊥BC，CD⊥BD，平面A′BD⊥面A′DC，
把△ABD沿BD折起，使平面A′BD⊥面BCD，
∴AD=AB=A′D=A′B=1，∴DC=DB=$\sqrt{2}$，∴BC=2，
作AO⊥BD，交BD于O，則A′O⊥BD，
AO=A′O=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AO⊥A′O，
∴AA′=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1，
∴△AA′D是等邊三角形，∴∠AA′D=60°，
∴A′D與BC所成的角為60°．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．