Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n＞0，a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，求a_n．

Answer 1

分析 通過a_n +$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n可知${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+1=0，從而${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+${{S}_{n}}^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$，進(jìn)而數(shù)列{${{S}_{n}}^{2}$}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，易知a₁=1，
∵a_n +$\frac{1}{{a}_{n}}$=2S_n，
∴${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+1=0，
∴${{a}_{n}}^{2}$-2a_nS_n+${{S}_{n}}^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$，
∴$（{S}_{n}-{a}_{n}）^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$，
即${{S}_{n-1}}^{2}$+1=${{S}_{n}}^{2}$（n≥2），
又∵${{S}_{1}}^{2}$=1，
∴數(shù)列{${{S}_{n}}^{2}$}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴${{S}_{n}}^{2}$=n，
∴S_n=$\sqrt{n}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$（n≥2），
又∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．