Question

如圖，D是△ABC的中點，

AE

=λ1

EC

，

BF

=λ2

FC

，

AE

=λ1

EC

，

DP

=λ

PC

，
則λ₁+λ₂=2λ．

Answer 1

分析：法1  設

EP

=μ

PF

，則又

CP

=

1

1+λ

CD

=

1

2(1+λ )

CA

+

1

2(1+λ)

CB

，利用向量相等，從而得出λ₁+λ₂=2λ．
法2  作如圖所示的輔助線，其中AM∥DP∥BN，則λ1+λ2=

AM

PC

+

BN

PC

=

2DP

PC

=2λ．

解答：證明1  設

EP

=μ

PF

，則

CP = 1 1+μ CE + μ 1+μ CF = 1 (1+μ)(1+λ1) CA + μ (1+μ)(1+λ2) CB

，
又

CP

=

1

1+λ

CD

=

1

2(1+λ )

CA

+

1

2(1+λ)

CB

，
∴

1

(1+μ)(1+λ1)

=

1

2(1+λ)

，

μ

(1+μ)(1+λ2)

=

1

2(1+λ)

，
則

(1+λ1)+(1+λ2)

2(1+λ)

=

1

1+μ

+

μ

1+μ

=1，
∴λ₁+λ₂=2λ．
證明2  作如圖所示的輔助線，其中AM∥DP∥BN，
則λ1+λ2=

AM

PC

+

BN

PC

=

2DP

PC

=2λ．

點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、向量的數(shù)乘運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．