Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點為F（1，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且使點F為△PQM的垂心（即三角形三條高線的交點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，$a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F為△PQM的垂心，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），于是設直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，運用韋達定理，結合垂心的定義和向量垂直的條件，化簡整理計算即可得到所求直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，$a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，
故橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．                                           
（Ⅱ）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F為△PQM的垂心，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因為M（0，1），F(xiàn)（1，0），故k_PQ=1．
于是設直線l的方程為y=x+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{3}$．
由題意應有$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{FQ}=0$，又$\overrightarrow{MP}=（{x_1}，{y_1}-1）\;，\overrightarrow{\;FQ}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
故x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0．
即$2{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）（m-1）+{m^2}-m=0$．
整理得$2×\frac{{2{m^2}-2}}{3}-\frac{4}{3}m（m-1）+{m^2}-m=0$．
解得$m=-\frac{4}{3}$或m=1．
經檢驗，當m=1時，△PQM不存在，故舍去m=1．
當$m=-\frac{4}{3}$時，所求直線l存在，且直線l的方程為$y=x-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，同時考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．