Question

9．設(shè)f^-1（x）為f（x）=2^x-2+$\frac{x}{2}$，x∈[0，2]的反函數(shù)，則y=f（x）+f^-1（x）的最大值為4．

Answer 1

分析 由f（x）=2^x-2+$\frac{x}{2}$在x∈[0，2]上為增函數(shù)可得其值域，得到y(tǒng)=f^-1（x）在[$\frac{1}{4}，2$]上為增函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性求得y=f（x）+f^-1（x）的最大值．

解答 解：由f（x）=2^x-2+$\frac{x}{2}$在x∈[0，2]上為增函數(shù)，得其值域?yàn)閇$\frac{1}{4}，2$]，
可得y=f^-1（x）在[$\frac{1}{4}，2$]上為增函數(shù)，
因此y=f（x）+f^-1（x）在[$\frac{1}{4}，2$]上為增函數(shù)，
∴y=f（x）+f^-1（x）的最大值為f（2）+f^-1（2）=1+1+2=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查了互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．