Question

1．（1）如果函數(shù)g（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1）（a∈R）的圖象在點（1，b）處的切線為水平直線，求點（1，b）處的切線方程，并探究g（x）是否存在最小值；
（2）記g（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1）（a∈R），對于任意實數(shù)x₁，x₂ ∈（0，1），且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）成立的條件下，是否可能存在實數(shù)a，使其滿足：對于任意實數(shù)x₁，x₂ ∈（1，+∞）且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）也恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得x=1處的導數(shù)為0，求得a，進而得到b，可得切線方程，再求單調(diào)區(qū)間，可得極值和最值；
（2）由題意可得函數(shù)g（x）在（0，1）為凸函數(shù)．求得二階導數(shù)，令導數(shù)小于0恒成立，即可得到a的范圍；
（3）由題意可得函數(shù)g（x）在（1，+∞）為凸函數(shù)．得二階導數(shù)，令導數(shù)小于0恒成立，結(jié)合（2）的范圍，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1）的導數(shù)為g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（3a+1），
在點（1，b）處的切線為水平直線，即有g(shù)′（1）=1+2a-3a-1=-a=0，
即a=0，g（x）=lnx-x+1，∴b=g（1）=0，
即為切線方程為y=0；
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=1處取得極大值，且為最大值，
則g（x）不存在最小值；
（2）任意實數(shù)x₁，x₂ ∈（0，1），
且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）恒成立，
即有函數(shù)g（x）在（0，1）為凸函數(shù)．
則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（3a+1），g′′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a＜0在（0，1）恒成立，
即有2a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$，而$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1，即有2a≤1，
解得a≤$\frac{1}{2}$；
（3）任意實數(shù)x₁，x₂ ∈（1，+∞）
且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）也恒成立，
即有函數(shù)g（x）在（1，+∞）為凸函數(shù)．
則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（3a+1），g′′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a＜0在（1，+∞）恒成立，
即有2a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$，而0＜$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1，即有2a≤0，
解得a≤0．
結(jié)合a≤$\frac{1}{2}$，可得a≤0．
故存在實數(shù)a，且為a≤0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查運用二階導數(shù)的符號判斷凹凸函數(shù)，以及不等式恒成立問題的解決，屬于中檔題．