Question

20．已知下列六個命題，其中真命題的序號是①④⑥．
①若一個圓錐的底面半徑縮小到原來的$\frac{1}{2}$，其體積縮小到原來的$\frac{1}{4}$；
②若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則它們的平均數(shù)也相等；
③“10^a≥10^b”是“l(fā)ga≥lgb”的充分不必要條件；
④過M（2，0）的直線l與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$交于P₁，P₂兩點(diǎn)，線段P₁P₂中點(diǎn)為P，設(shè)直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-$\frac{1}{2}$；
⑤為了了解800名學(xué)生對學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為40；
⑥線性回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$恒過樣本中心$（\bar x，\bar y）$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓錐的體積公式，求出變換后圓錐的體積與原體積的關(guān)系，可判斷①；根據(jù)中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義，可判斷③；設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，結(jié)合線段P₁P₂的中點(diǎn)為P，即可得到結(jié)論，可判斷④．由系統(tǒng)抽樣間隔號的求法求出間隔號判斷⑤；由線性回歸直線方程的性質(zhì)即可判斷⑥．

解答 解：對于①，若一個圓錐的底面半徑縮小到原來的$\frac{1}{2}$，其底面積縮小到原來的$\frac{1}{4}$，由于高不變，其體積縮小到原來的，故正確；
對于②，若兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則它們的平均數(shù)不一定相等，故錯誤；
對于③，“10^a≥10^b”?“a≥b”，“l(fā)ga≥lgb”?“a≥b≥0”，故“10^a≥10^b”是“l(fā)ga≥lgb”的必要不充分條件，故錯誤；
對于④設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，兩式相減可得：（x₁-x₂）×2x+2（y₁-y₂）×2y=0，
∵直線l的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP（O是原點(diǎn)）的斜率為k₂，∴k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，故正確；
對于⑤，總體容量N=800，樣本容量n=40，則用系統(tǒng)抽樣的分段的間隔k=$\frac{800}{40}$=20，故錯誤；
對于⑥，線性回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$恒過樣本中心$（\bar x，\bar y）$．故正確；
故答案為：①④⑥

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了圓錐的體積，中位數(shù)和平均數(shù)，充要條件，回歸直線與方程的特點(diǎn)，屬于中檔題．