Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)，求函數(shù)的值域；

（2）設(shè)函數(shù)，問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（3）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，試討論當(dāng)時(shí)，是否存在，若存在請(qǐng)求出的取值范圍．（）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）答案見解析.

【解析】

（1）時(shí)，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及可得值域；

（2）化函數(shù)為分段函數(shù)形式，，討論兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸與的關(guān)系確定單調(diào)性；

（3）根據(jù)二次方程的根和二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，可得的零點(diǎn)情況．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以．所以值域?yàn)?/span>；

（2），

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸是，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，

的對(duì)稱軸是，

因此函數(shù)在上遞減，所以在上遞減，

同理，當(dāng)時(shí)，，，

因此在上，遞增，

在上，遞增，

所以在上遞增，

當(dāng)時(shí)，，，

在上遞減，在上遞增，即在上不單調(diào)．

綜上所述或；

（3），

當(dāng)時(shí)，恒成立，

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，不存在，

當(dāng)，只有一個(gè)零點(diǎn)4，，

當(dāng)時(shí)，

在兩個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，，

當(dāng)時(shí)，

只有一個(gè)零點(diǎn)，，

當(dāng)時(shí)，

在兩個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，，

當(dāng)時(shí)，

有兩個(gè)零點(diǎn)，，

，．

（由和在時(shí)都是單調(diào)遞減的易得）