Question

18．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓M上任一點，且|PF₁|•|PF₂|的最大值的取值范圍是[2b²，3b²]，橢圓M的離心率為e，則e-$\frac{1}{e}$的最小值是（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\sqrt{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． -$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 利用基本不等式得出|PF₁|•|PF₂|的最大值，從而得出離心率的范圍，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出答案．

解答 解：由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁|•|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=a²，
∴2b²≤a²≤3b²，
即2a²-2c²≤a²≤3a²-3c²，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≤$\frac{2}{3}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
令f（e）=e-$\frac{1}{e}$，則f（e）是增函數(shù)，
∴當e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，e-$\frac{1}{e}$取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選A．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，基本不等式的應用，屬于基礎題．