Question

9．過拋物線x²=8y的準(zhǔn)線上一點P向該拋物線引兩條切線，切點分別為A，B，直線AB與橢圓$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$相交于M，N兩點．
（1）求證直線AB過定點．
（2）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），由拋物線y=$\frac{{x}^{2}}{8}$可得y′=$\frac{1}{4}$x，A點處的切線為y=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$，B點處的切線為y=$\frac{1}{4}$x₂（x-x₂）+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，從而得到x₁x₂=-16；且可寫出AB的直線方程，再令x=0求y即可得到定點．
（2）由題意知直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+2．代入橢圓方程，運用判別式大于0和韋達定理及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡計算即可得到所求范圍．

解答 （1）證明：設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），
又由拋物線y=$\frac{{x}^{2}}{8}$可得y′=$\frac{1}{4}$x，
A點處的切線為y=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$，
B點處的切線為y=$\frac{1}{4}$x₂（x-x₂）+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，
聯(lián)立上面方程，求得
x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$，
故兩者交點為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$），
而交點在拋物線x²=8y的準(zhǔn)線y=-2，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}$=-2，
故x₁x₂=-16，
故AB的直線方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
當(dāng)x=0時，8y=（-x₁）（x₁+x₂）+x₁²=-x₁x₂=16，即y=2，
故直線AB恒過定點（0，2），即此拋物線的焦點F．
（2）解：由題意知直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+2．
代入橢圓y²+2x²=8，
得（2+k²）x²+4kx-4=0．
△=16k²+16（2+k²）＞0恒成立，
設(shè)點M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
x₃+x₄=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{-4}{2+{k}^{2}}$，
y₃y₄=（kx₃+2）（kx₄+2）=k²x₃x₄+2k（x₃+x₄）+4=$\frac{8-8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₃x₄+y₃y₄=$\frac{-4}{2+{k}^{2}}$+$\frac{8-8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$=$\frac{20}{2+{k}^{2}}$-8≤2，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范圍是（-8，2]．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．