Question

3．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c、d，滿足abcd=1，證明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}cghtnqq$+$\frac{9}{a+b+c+d}$≥$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}06frsv5$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，兩邊同乘以（a+b+c+d），利用基本不等式，結(jié)合abcd=1，即可證明結(jié)論．

解答 證明：設(shè)$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}u9u5zbd$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，則兩邊同乘以（a+b+c+d），得：
k（a+b+c+d）
=1+$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac0c555sd{a}$+$\frac{a}$+1+$\frac{c}$+$\fraceqnojwp$+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$+1+$\frac0wp950j{c}$+$\frac{a}cwefk4m$+$\frac4jv5ozr$+$\frac{c}smejxzv$+1+9
=13+（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\fracqvocohm{a}$+$\frac{a}abnd9od$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）+（$\frac0vnts0d$+$\frac9tf0ujg$）+（$\frac0jo0szh{c}$+$\frac{c}bvfvhsa$）
∴當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$、$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$、$\fracab40mii{a}$=$\frac{a}xcdpbxq$、$\frac{c}$=$\frac{c}$、$\frac9ov5mb0$=$\fracdendy5d$、$\frac5pyg5pv{c}$=$\frac{c}5sr0hhz$時(shí)，k（a+b+c+d）有最小值．
且最小值為：13+2+2+2+2+2+2=25．
當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$、$\frac{c}{a}$=$\frac{a}{c}$、$\fracjqvwbtl{a}$=$\frac{a}zr5c15u$、$\frac{c}$=$\frac{c}$、$\frac9bn05tm$=$\fracopm5dqu$、$\frac5es5wt0{c}$=$\frac{c}nbnh9de$時(shí)，容易得到：a=b=c=d．
又abcd=1，∴此時(shí)a=b=c=d=1，得：a+b+c+d=4．
∴k（a+b+c+d）≥25，∴4k≥25，∴k≥$\frac{25}{4}$．　
即：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}grjkd5o$+$\frac{9}{a+b+c+d}$≥$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，設(shè)$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}x45f04s$+$\frac{9}{a+b+c+d}$=k，兩邊同乘以（a+b+c+d），利用基本不等式是關(guān)鍵．