Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（0，2λ），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$λ，-$\frac{1}{2}$λ），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1．
（1）求實數(shù)λ的值；
（2）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）運用方程的思想求得向量a，b，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，即可得到實數(shù)λ的值；
（2）運用向量的模的公式和向量的夾角公式，計算即可得到所求夾角．

解答 解：（1）由2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（0，2λ），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$λ，-$\frac{1}{2}$λ），
解得$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，$\frac{1}{2}λ$），$\overrightarrow$=（-$\sqrt{3}λ$，λ），
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-1，可得-$\frac{3}{2}$λ²+$\frac{1}{2}$λ²=-1，
解得λ=±1；
（2）由于|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}{λ}^{2}+\frac{1}{4}{λ}^{2}}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3{λ}^{2}+{λ}^{2}}$=2，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
即有$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和性質(zhì)，同時考查向量的模的公式及向量的夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題．