Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+x與$g（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+ax-1$（a＞0）的圖象有且只有一個公共點，則a所在的區(qū)間為（　�。�

• A． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$
• B． $（\frac{2}{3}，1）$
• C． $（\frac{3}{2}，2）$
• D． $（1，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 設(shè)T（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$-ax+1，T′（x）=（x+1）•$\frac{1}{x}$•（1-ax），推導出T（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，由此利用分類討論思想能求出a所在的區(qū)間．

解答 解：設(shè)T（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$-ax+1，
在x＞0時，有且僅有1個零點，
T′（x）=$\frac{1}{x}+1-ax-a$=$\frac{x+1}{x}$-a（x+1）
=（x+1）（$\frac{1}{x}-a$）
=（x+1）•$\frac{1}{x}$•（1-ax），
∵a＞0，x＞0，∴T（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，如右圖，
當x→0時，T（x）→∞，x→+∞時，T（x）→-∞，
∴$T（\frac{1}{a}）=0$，
即ln$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}•\frac{1}{a}$-1+1=0，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2a}$=0，
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{2x}$在x＞0上單調(diào)，
∴$ln\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}=0$在a＞0上最多有1個零點，
a=1時，$ln\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2a}$=$\frac{1}{2}$＞0，
a=2時，$ln\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2a}$＜0，
$a=\frac{3}{2}$時，$ln\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}$＜0，
∴a∈（1，$\frac{3}{2}$）．
故選：D．

點評 本題考查實數(shù)值取值區(qū)間的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．