Question

4．若f′（x₀）存在，則$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$=2f'（x₀）．

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，表示函數(shù)f（x）在x₀的導(dǎo)數(shù)f'（x₀）=$\frac{1}{2}$$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$，進(jìn)而求得原式的值．

解答 解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)f（x）在x₀的導(dǎo)數(shù)為：
f'（x₀）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{（{x}_{0}+△x）-（{x}_{0}-△x）}$
=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{2△x}$
=$\frac{1}{2}$•$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$，
所以，$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（{x}_{0}+△x）-f（{x}_{0}-△x）}{△x}$=2f'（x₀），
即原式=2f'（x₀），
故答案為：2f'（x₀）．

點(diǎn)評 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，涉及導(dǎo)數(shù)的定義和應(yīng)用，合理的恒等變形是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．