Question

16．已知四面體ABCD的各面均是邊長為1的正三角形，設E，G分別為△BCD，△ABC的中心，分別以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{GC}$，$\overrightarrow{GD}$方向上的單位向量構成一個基底$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$，則向量$\overrightarrow{AE}$的坐標是（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結合圖形建立空間直角坐標系，以棱長1為一個長度單位，表示出點的坐標，求出向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{GC}$、$\overrightarrow{GD}$和$\overrightarrow{AE}$的坐標表示，設$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{GC}$+z$\overrightarrow{GD}$，求出對應的x、y、z的值，再化為$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{GC}$和$\overrightarrow{GD}$方向上的單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$、$\overrightarrow{{e}_{3}}$即可得出向量$\overrightarrow{AE}$的坐標．

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；
正四面體ABCD的頂點D在底面ABC你的射影是底面△ABC的中心G，以點G為坐標原點，以GA為x軸，GD為z軸，以過點G且平行于CB的限直線為y軸，建立空間直角坐標系，且AB=1，
F是BC的中點，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴GA=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴GF=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴GC=GA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，GD=$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴G（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），
D（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），E（-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$），F(xiàn)（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0，0）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{GC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{GD}$=（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）；
設$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{GC}$+z$\overrightarrow{GD}$，x、y、z∈R；
則（-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$y，$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{6}}{3}$z），
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{6}y=-\frac{4\sqrt{3}}{9}}\\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\frac{\sqrt{6}}{3}z=\frac{\sqrt{6}}{9}}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{2}{3}$，z=$\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{GC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{GD}$；
又$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{GC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{GD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{\sqrt{6}}{9}$$\overrightarrow{{e}_{3}}$；
∴向量$\overrightarrow{AE}$的坐標是（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）．
故答案為：（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{9}$）．

點評 本題考查了空間向量的應用問題，也考查了向量的坐標表示與解方程組的應用問題，考查了數(shù)形結合的應用問題，是綜合性題目．