Question

如圖1­3，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五棱錐P ­ ABCDE中，F為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H.

(1)求證：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．

圖1­3

Answer 1

解：(1)證明：在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE.

又因為AB⊄平面PDE，

所以AB∥平面PDE.

因為AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，

所以AB∥FG.

(2)因為PA⊥底面ABCDE，

所以PA⊥AB，PA⊥AE.

建立空間直角坐標(biāo)系Axyz，如圖所示，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，＝(1，1，0)．

設(shè)平面ABF的法向量為n＝(x，y，z)，則

．

即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.

因為n是平面ABF的一個法向量，